【资料图】

偏导数的概念及几何意义

定义 设函数 Z = f(x,y)在点(,)某一领域内有定义，当 y 固定在 而 x 在处有增量时，相应的函数有增量 f(+) - f(,)，如果存在，则称此极限为函数 f(x,y) 在点（,）处对 x 的偏导数，记作

如果函数 f( x , y)在区域 D 内任一点（ x, y ）对 x 的偏导数都存在，则这个偏导数就是 x 、y 的函数，它就称为函数 z = f ( x , y ) 对 x 的偏导函数，记作

类似地，可定义函数 Z = f ( x , y ) 对 y 的偏导数，记作

多元函数的偏导数可简称为偏导数

上述定义表明，在求多元函数对某一个自变量的偏导数时，只需要把其余自变量看为常数，然后直接利用一元函数的求导公式，即复合函数求导法则来计算

求 Z = f ( x , y ) = + 3xy + 在点（1，2）处的偏导数

解：把 y 看作常数，对 x 求导：( x , y ) = 2x + 3y

把 x 看作常数，对 y 求导：( x , y ) = 3x + 2y

将（1，2）代入，得：

（ 1，2 ）= 2*1 + 3*2 = 8 ， （ 1，2 ）= 3*1 + 2*2 = 7

一元函数的导数在几何上可表示平面曲线在一点处切线的斜率，二元函数的偏导数表示什么？

设(,, f(,)) 为曲面 Z = f( x , y ) 上一点，偏导数( x , y ) 就是曲面被平面 y = 所截得的曲线在点处的切线对 x 轴的斜率

偏导数( , ) 就是曲面被平面 x = 所截得的曲线在点 处的切线对 y 轴的斜率

在一元函数中，若函数在某点可导，则它在该点必连续，多元函数也有类似性质吗？

对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续

试证函数

证明：=

=

= 0

=

=

= 0

由于极限不存在，f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 )不连续

高阶偏导数

设函数 f ( x , y ) 在区域 D 内具有偏导数

, ,

则在 D 内 ,都是 x , y 的函数，

如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数

按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数：

==

==

= =

==

其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数

类似地，可以定义三阶、四阶...以及 n 阶偏导数，我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

例：

定理如果函数 f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数 、在区域 D 内连续，则在该区域内有 =

推广高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关

高阶导数实际上也就是一元函数求导

梯度

1、z = f ( x , y ) 在点(,)处的梯度

gradf( , ) = +

注：拿两个偏导数分别乘以自变量

2、u = f ( x, y, z)在点(,,)处的梯度

gradf(,,) = ++

注：i,j,k分别代表x轴、y轴、z轴上的单位向量

例 f ( x, y, z) = , 求 gradf(1, 1, 1)

解：gradf(x, y, z) = ++

= 2xi + 2yj + 2zk

gradf(1, 1, 1) = 2i + 2j + 2k

= {2, 2, 2}

梯度的应用-蚂蚁逃生

铁板温度：T = 80 - -- x

蚂蚁落在 M(1, 1)处的逃生方向和逃生路线？

温度增加最快的方向是梯度方向，温度减少最快的方向是梯度的反方向

M的切线的法线方向，从温度高的一侧往温度低的一侧

设逃生路线方程为 F(x, y) = 0 , 任意点处的切向量(dx, dy) 平行于gradT (两个向量平行，对应坐标成比例 )

则

4x + 1 =

代入 (1, 1)点得 C = 5

即逃生方向为 4x + 1 = (应该是一个抛物线的一部分)

到这里线性代数、微积分、概率论等知识点大概学习完了，下一篇开始学习python的相关知识。数学的知识点虽然大概学习完了，但是有很多内容一知半解，需要在后续的学习中慢慢体会，相信勤加练习会逐渐融会贯通的

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关键词： 机器学习