在所有实数中任取一个数，是有理数的概率居然是0！最严格证明！

文章标题这句话换一个说法就是：在实数轴上任意取一个点，这个点对应的实数是有理数的概率是0！

首先明确，这个结论在数学语言中是绝对正确的，是毫无争议的！

也许你会想到，有理数有无穷多个，完全有可能这个点就落在了原点处，对应的实数就是有理数0，那么取到有理数的概率怎么可能是0呢？

(相关资料图)

在纯理论的角度，确实有可能取到的点对应的实数是有理数。但在严密的数学体系下，取到有理数的概率只能是0！

接下来进行严格的证明，取到有理数的概率是0！

整个实数轴太复杂，我们把问题简化一些，只考虑闭区间[0，1]上的所有点。问题转化为：在区间[0，1]上任取一点，这个点对应的实数是有理数的概率是多少？

我们先来看一个更简单的问题，在区间[0，1]上任取一点，这个点落在区间[1/3，2/3]上的概率为多少？

根据测度论的知识体系，所求概率为区间[1/3，2/3]的测度比上区间[0，1]的测度，也就是区间[1/3，2/3]的长度比上区间[0，1]的长度。

区间[1/3，2/3]的长度为2/3-1/3=1/3，区间[0，1]的长度为1-0=1。

所以所求概率为P=1/3：1=1/3

所以，现在我们所要求的问题转化为在区间[0，1]上，所有有理数的点组成的集合对应的长度比上区间[0，1]的长度1。

接下来我们来讨论：在区间[0，1]上，所有有理数的点组成的集合对应的长度为多少？

我们假设在区间[0，1]上所有的有理数分别为：q1、q2、q3、……、qn、……

取任意足够小的正数ε＞0，令

q1∈(q1-ε/4，q1+ε/4)

q2∈(q1-ε/8，q1+ε/8)

q3∈(q1-ε/16，q1+ε/16)

…………

qn∈(q1-ε/[2^(n+1)]，q1+ε/[2^(n+1)])

…………

区间(q1-ε/4，q1+ε/4)的长度为：(q1+ε/4)-(q1-ε/4)=ε/4+ε/4=ε/2

区间(q1-ε/8，q1+ε/8)的长度为：(q1+ε/8)-(q1-ε/8)=ε/8+ε/8=ε/4

区间(q1-ε/16，q1+ε/16)的长度为：(q1+ε/16)-(q1-ε/16)=ε/16+ε/16=ε/8

…………

区间(q1-ε/[2^(n+1)]，q1+ε/[2^(n+1)])的长度为：

{q1+ε/[2^(n+1)]}-{q1-ε/[2^(n+1)]}=ε/[2^(n+1)]+ε/[2^(n+1)]=ε/(2^n)

…………

显然，所有有理数的集合{q1，q2，q3，……，qn，……}的长度：

d＜ε/2+ε/4+ε/8+……+ε/(2^n)+……

注意到数列ε/2，ε/4，ε/8，……，ε/(2^n)，……

构成一个首项a1=ε/2，公比q=1/2的无穷递缩等比数列

根据无穷递缩等比数列求和公式，所有项之和

S=lim(Sn)=lim{[a1×(1-q^n)]/(1-q)}

=[a1×(1-0)]/(1-q)=a1/(1-q)，n→∞，-1＜q＜1

S=a1/(1-q)

由于-1＜q=1/2＜1，所以

S=ε/2+ε/4+ε/8+……+ε/(2^n)+……

=(ε/2)/(1-1/2)=(ε/2)/(1/2)=ε

d＜ε/2+ε/4+ε/8+……+ε/(2^n)+……=ε

注意到ε是任意足够小的正数

也就是说d比任意小的正数还要小

那么d只能为0

所以，所有有理数的集合{q1，q2，q3，……，qn，……}的长度d=0

所以，取到有理数的概率P=0/1=0

至此，我们终于严格证明了这一结论。现在我们可以回答最开始的疑问了，为什么我们有可能取到有理数，但却说取到有理数的概率是0呢？根本原因就在于数轴上的一些点集相对于整个数轴而言，是完全可以忽略不计的。尽管有理数集有无穷多个，但这无穷多个点的集合长度是0，所以取到有理数的概率也是0。

到这里，你又产生了新的疑问。既然有理数集我们可以这样操作来证明长度为0，那我们也可以采用同样的操作方式来证明无理数集的长度也是0啊！

答案是否定的！无理数集不能采用以上操作！

因为有理数集可以写成有序集合{q1，q2，q3，……，qn，……}，但无理数集无法做到这一点。

原因在于有理数集是可数的，而无理数集是不可数的。

我们知道所有有理数都可以表示成分子分母互质的整分数，那么我们就可以将区间[0，1]上的所有有理数依次有序的排列出来：

0，1，1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，2/5，3/5，4/5，……

区间[0，1]上的任何一个有理数都可以在这个有序列中找到一个确定的位置。

但对于无理数集，你无法找到任何一种有序的排列方式将所有无理数依次排列出来。

再换一种说法，无理数集在实数轴上是连续的、稠密的，而有理数集在实数轴上是间断的、离散的。所以无理数集几乎填满了整个实数轴，而有理数集只是实数轴上一些分散的点集。

我们也可以这样来理解，任何两个相邻的无理数之间是没有缝隙的，而任何两个相邻的有理数之间存在缝隙，里面还有无穷多个无理数。

所以，在实数轴上任取一点，取到有理数的概率为0，而取到无理数的概率为100%=1。

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