最新：MATLAB的牛顿法求多元函数的极值程序加实例

今天主要是讲解MATLAB的牛顿法求多元函数的极值程序加实例。

【资料图】

实例1

求f(x,y)= sin(x^2+y^2)*exp(-0.1*(x^2+y^2+x*y+2*x))，在-2<=x<=2，-2<=y<=2上的极值点和极值。

主程序

clc;clear all;close all;syms x y;%定义函数变量 x yf = sin(x^2+y^2)*exp(-0.1*(x^2+y^2+x*y+2*x));x0 = [1 1];%初始点 x0(1,1)[x_best,f_best] = Newton(f,x0,[x y]);x_bestf_best = vpa(f_best)x = -2:0.01:2;y = x;[X,Y] = meshgrid(x,y);F = sin(X.^2+Y.^2)*exp(-0.1*(X.^2+Y.^2+X.*Y+2.*X));figure;mesh(X,Y,F);xlabel("x");ylabel("y");zlabel("z");

牛顿法函数

function [x_best,f_best] = Newton(f,x0,x,epsilon)%% 牛顿法求解函数的最小值(极小值)%% 输入%   f：目标函数%   x0：初始点%   x：自变量向量%   epsilon：精度%% 输出%   x_bes：目标函数取最小值时的自变量值%   f_best：目标函数的最小值format long;%改变数据显示格式if nargin == 3  %默认的精度    epsilon = 1.0e-6;endx0 = transpose(x0);%transpose函数的功能是转置向量或矩阵x = transpose(x);%transpose函数的功能是转置向量或矩阵g1f = jacobian(f,x);% jacobian求解向量函数的雅可比矩阵式 g2f = jacobian(g1f,x);% jacobian求解向量函数的雅可比矩阵式 % 参数初始化grad_fxk = 1;k = 0;xk = x0;while norm(grad_fxk) > epsilon  %   计算矩阵 (向量) X的2-范数    grad_fxk  = subs(g1f,x,xk);%   计算矩阵 (向量) 雅可比矩阵式在xk处的值    grad2_fxk = subs(g2f,x,xk);    pk = -inv(grad2_fxk)*transpose(grad_fxk);  % 步长    pk = double(pk);%转化为双精度浮点类型    xk_next = xk + pk; %      xk = xk_next;    k = k + 1;    f_1 = subs(f,x,xk);%计算函数值    %输出迭代结果    fprintf("迭代次数：%d  误差：%.20f 极值点：(x,y) = (%f,%f) 极值：f(x,y) = %.20f\n",k,vpa(norm(grad_fxk)),xk(1),xk(2),vpa(f_1));end%输出极值点和极值x_best = xk_next;f_best = subs(f,x,x_best);end

运行结果

迭代次数：1  误差：1.02885710610701086587 极值点：(x,y) = (0.669084,0.966374) 极值：f(x,y) = 0.70142228466448164337迭代次数：2  误差：0.14448082736806977522 极值点：(x,y) = (1.195944,0.595077) 极值：f(x,y) = 0.59942448686119498280迭代次数：3  误差：0.67873695620313101440 极值点：(x,y) = (1.032695,0.554239) 极值：f(x,y) = 0.65658602325338621952迭代次数：4  误差：0.03278835230868389766 极值点：(x,y) = (1.077563,0.457762) 极值：f(x,y) = 0.65569150404015985600迭代次数：5  误差：0.01819636638003245543 极值点：(x,y) = (1.069052,0.464828) 极值：f(x,y) = 0.65572832791085189363迭代次数：6  误差：0.00027874333536557117 极值点：(x,y) = (1.069330,0.464057) 极值：f(x,y) = 0.65572826847418552720迭代次数：7  误差：0.00000108627104183494 极值点：(x,y) = (1.069329,0.464058) 极值：f(x,y) = 0.65572826847430654151迭代次数：8  误差：0.00000000000108544724 极值点：(x,y) = (1.069329,0.464058) 极值：f(x,y) = 0.65572826847430654151x_best =   1.069329230413560   0.464057718471801 f_best = 0.65572826847430659287489727298377

实例2

求f(x,y)= 4*(x-y)-x^2-y^2，在-2<=x<=2，-2<=y<=2上的极值点和极值。

主程序

clc;clear all;close all;syms x y;%定义函数变量 x yfx = 4*(x-y)-x^2-y^2;%定义二元变量函数x0 = [1 1];%初始点 x0(1,1)[x_best,f_best] = Newton(fx,x0,[x y]);x_bestf_best = vpa(f_best)x = -2:0.1:2;y = x;[X,Y] = meshgrid(x,y);F =  4.*(X-Y)-X.^2-Y.^2;figure;mesh(X,Y,F);xlabel("x");ylabel("y");zlabel("z");

运行结果

迭代次数：1  误差：6.32455532033675904557 极值点：(x,y) = (2.000000,-2.000000) 极值：f(x,y) = 8.00000000000000000000迭代次数：2  误差：0.00000000000000000000 极值点：(x,y) = (2.000000,-2.000000) 极值：f(x,y) = 8.00000000000000000000x_best =     2    -2 f_best = 8.0

实例3

求f(x,y)= (1-x)^2+100*(y-x^2)^2，在-2<=x<=2，-2<=y<=2上的极值点和极值。

主程序

clc;clear all;close all;syms x y;%定义函数变量 x yf = (1-x)^2+100*(y-x^2)^2;x0 = [0 0];%初始点 x0(1,1)[x_best,f_best] = Newton(f,x0,[x y]);x_bestf_best = vpa(f_best)x = -2:0.1:2;y = x;[X,Y] = meshgrid(x,y);F = (1-X).^2+100.*(Y-X.^2).^2;figure;mesh(X,Y,F);xlabel("x");ylabel("y");zlabel("z");

运行结果

迭代次数：1  误差：2.00000000000000000000 极值点：(x,y) = (1.000000,0.000000) 极值：f(x,y) = 100.00000000000000000000迭代次数：2  误差：447.21359549995793258859 极值点：(x,y) = (1.000000,1.000000) 极值：f(x,y) = 0.00000000000000000000迭代次数：3  误差：0.00000000000000000000 极值点：(x,y) = (1.000000,1.000000) 极值：f(x,y) = 0.00000000000000000000x_best =     1     1 f_best = 0.0

实例4

主程序

clc;clear all;close all;syms x;f =  9.*x.^2-sin(x)-1;[x_optimization,y] = Newton_Method(f,2);x_optimization = double(x_optimization);y =vpa(y)x_optimizationx = -10:0.01:10;ft = 9.*x.^2-sin(x)-1;figure(1)plot(x,ft);hold on;plot(x_optimization,y,"r*");

Newton_Method函数程序

function [x_optimization,f_optimization] = Newton_Method(f,x0)format long;%   f：目标函数%   x0：初始点%   epsilon：精度%   x_optimization：目标函数取最小值时的自变量值%   f_optimization：目标函数的最小值if nargin == 2    epsilon = 1.0e-6;enddf = diff(f);       %   一阶导数d2f = diff(df);     %   二阶导数k = 0;dfxk = 1;xk = x0;while dfxk > epsilon    dfx = subs(df,symvar(df),xk);    if diff(d2f) == 0        d2fx = double(d2f);     % 二阶导数不能为零    else        d2fx = subs(d2f,symvar(d2f),xk);     end    xk_next = xk - dfx/d2fx;        k = k + 1;                      dfxk = abs(dfx);    xk = xk_next;   %   迭代endx_optimization = xk_next;f_optimization = subs(f,symvar(f),x_optimization);format short;end

运行结果

y = -1.0277492701423876507411151284973 x_optimization =    0.0555

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作 者 | 郭志龙

编 辑 | 郭志龙
校 对 | 郭志龙

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