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对具有一定厚度的盘状星系,求解它的基态引力势,由于数学上的复杂性而存在一定困难。

过去有人曾求出银河系的引力势解,但由于对观测资料较全的银河系,它具有自身的特殊性,因此对银河系适用的求引力势的方法,不能推广到一般星系中去。

(资料图)

徐建军曾对盘状星系的三维基态作了探讨,但他是采用气体盘模拟且由小参量方法求解的,因此只适用于很薄的盘星系;另外,他所求得的解仅是积分形式,而未能将此积分求解出来。

我们的方法与上述各种方法都不同,是利用以密度波理论为基础所求得的三维涡星系的扰动引力势,由Hankei变换,首先求出基态引力势的积分形式,此形式与文献中的结果有类似之处,但我们没作小参量展开,因此此积分形式解在数学上是严格的。

为了求解该积分,我们采用Toomre旋转模型以及与此模型相应、有一已作了星系厚度效应改正的投影面密度公式,利用此公式最后可推出三维旋涡星系的基态引力势的分析表达式解。

我们对两种不同情况下求解,一个是严格解,一个是近似解。

基态引力势的积分形式解

以密度波理论为基础,我们曾求得了三维旋涡星系的扰动引力势。

假定星系是面对称和旋转对称,且在z方向的密度分布满足:

其中α为星系半厚度的倒数。

假定有一密度扰动,当波数k>0时,其扰动面密度为:

(当k<0时,上式改用第一类Hankel函数即可),则扰动引力势为:

其中m为星系的旋臂数,一般情况取m=2。

由于我们现在假定的情况是k>0,为后面的运算方便起见,我们将k取绝对值的符号暂时取消。

设盘状星系的基态投影面密度为σ(r,θ),现将它按Hankel函数展开为k的积分,由于基盘是轴对称的,则有如下形式:

而基态引力势V(r,θ,z)满足下述泊松方程:

已推出扰动引力势V1(r,θ,z)满足的方程，将(2)式代入(6)式,得

将kμm(k)dk乘(7)式两端,然后对k积分,得

利用(4)和(5)式,(8)式可化为:

将(3)式代入(9)式,即得

由(10)式可看出,基盘引力势也满足轴对称情况,即

将(11)式代入(4)式,得:

(13)式正是以Bessel函数为核的积分变换形式——Hankel变换,它的逆变换为:

上式与文献中的基态引力势解的积分形式类似,但有不同,因为文献采用的是小参量展开,其解是好几项的和;而我们的解仅有一项,在数学上是严格的形式。

求基态引力势的分析表达式

为求解基态引力势V(r),必须先求解(15)式右端积分中所包含的那个积分,令其为:

采用Toomre旋转模型“2”,且加上厚度效应改正后的投影面密度分布为:

其中a为旋转参数,可由测定的星系旋转曲线求出;Ωc为星系中心旋转角速度。

为了满足积分条件和得到统一形式的解式,将(17)式拆散,并重新组合成我们所需要的下述形式:

因同样的理由,需将Jm(kr)降阶,即

将(18),(19)式代入(16)式,得

上式中各项积分的形式相同,可由积分变换表查出,相应的积分公式为:

将(20)式中的各项按(21)式的积分公式求积分,可得:式中1F2(λ;μ,v;%)为广义超几何函数;Г(γ)为伽马函数。

再将(22)式代入(15)式,并作适当整理后,可得:

可将超几何函数表为下述积分形式:

将(23)式中的超几何函数都按(24)式写成积分形式,然后通过简化并整理后得:

为求上式之积分,必须先求它内部所包含的那个积分,它可由积分变换表查出,相应的积分公式为:

其中sμ,v(z)为第二类Lommel函数。

将(25)式内的积分用(26)式的形式表出,化简后可得

上式为星系基盘引力势的参量积分表式。

在一般情况下,可取星系旋臂数m=2,则求(28)式的积分,可应用留数定理来作。

下面分两种情况来讨论。

(1)当r>a时,在复平面的右半部取一迴路C(如图1所示),并令R→∞。

可以证明当r>a时,沿CR的积分为零。

由于各被积函数除Г(-t)外均解析,而Γ(-t)的奇点-t=-n即t=(n=0,1,2,…),它所对应的留数为:

图1

则可求得当r>a时,(28)式的积分——基态引力势解:

(2)当r<a时,可在复平面的左半部取迥路,在此迴路中仅函数Г(t)有奇点t=-n(n=0,1,2,…),根据留数定理,同理可得当r<a时的星系基态引力势解:

其中C-n和D-n即(31)式中将n改为-n。

(30)和(32)式即是我们所求的三维旋涡星系在整个对称面上的基态引力势解。

适用于薄盘星系的近似解

上节求得的三维旋涡星系基态引力势解(30)和(32)式,在数学上是一较严格的解,它适用于稍厚的盘星系,但缺点是它仅对应于Toomre模型“2”。

能否找出一个更为一般的对应于Toomre模型“N”的基态引力势解呢?这在数学上由于太复杂而非常困难,但对于薄盘星系,有可能得出一个较简单的近似解。

对于无限薄盘星系,Toomre模型“N”为:

对于薄的盘星系,投影面密度可用(34)式的σN(r)近似代替之。

将(34)式代入(16)式,然后作必要的形式变换,可得

利用(21)式,可算出上述积分

将(36)式代入(15)式,并利用(24)式,得

利用(26)式可得V(r)的参数积分表达式

取星系的旋臂数m=2,然后作积分,同理可推得

上式即为适用于很薄的三维旋涡星系基态引力势。

此解的优点是可根据(39)式求出对应于任何一种Toomre模型的基态引力势,因此它是更为普遍的形式解。

讨论

为了检验我们的理论和所推出的基态引力势公式是否正确,需要应用我们推出的结论公式,以银河系为例进行检算。

虽然我们知道银河系的旋转(Schmidt)模型与旋涡星系的Toomre旋转模型不一致,但是这两种模型的旋转曲线大约在r=10千秒差距(太阳)附近很接近,而且在太阳附近的引力势能值已被唯一准确地观测推算出,因此在r=10千秒差距点上已提供了检验本理论的条件。

为此,可利用公式(30)进行计算。

由于银河系是一较薄的盘星系,因此除星系中心及其紧邻区域外,绝大部分区域皆满足条件αr>>1,在此条件下,Sμ,v(αr)的渐近式可表为:

将(40)式代入(30)式,得

将r=10千秒差距代入上式,即可算出V(10)≈5.2×104(公里/秒)2。

此值略低于标准值:6×104(公里/秒)2,这可能是在r=10千秒差距处Toomre旋转模型略低于Schmidt旋转模型之故。

在计算(41)式时,我们取银河系的a=9.5千秒差距,Ω=57.1公里/秒/千秒差距。

由上述比较可以说明,我们的理论结果是令人满意的。

根据我们所得的结论公式,还可推论出一具有物理意义的重要结果。由参量积分表式(27)和(38)可看到,在表式中有一公因子,当m=奇数时,它趋向∞,此即说明,在旋涡星系中不应当存在具有单旋臂的星系,或者说旋涡星总是以双旋臂(m=2,4,…)出现。如果说我们在观测中发现有单(数)旋臂的星系,那是由于或者还有一条旋臂未被发现或者被它自己所遮挡。如果真存在少数单(数)旋臂的星系,那它们一定不满足我们理论的基本原理:旋转理论和密度波理论。我们认为旋涡星系总是以双(数)旋臂出现是符合自然法则的。

我们曾假定了密度扰动为ρ1(r,Z)=ρ1(r,0)e-α|Z|的情况下,求出了泊松方程的扰动引力势解。

本文首先研究了物质盘的响应,并作出了银河系的旋臂图样。

另外,我们知道旋涡星系具有一定宽度。

徐遐生等人用星系激波的模型来说明旋臂的宽度。

本文从密度波理论出发,提出了另一种说明。

因为盘星系实际上存在一厚度,它将影响平面上的物质分布和运动,这种影响对不同高度将不同。

因此在不同高度处的波数k随r的变化也将不同,即不同高度处的旋臂图样不一样。

但实际看到的星系旋臂是不同高度处旋臂图样的叠加,这导致旋臂有一定的宽度。

我们以银河系为例,采用了史密特模型,求出了银河系不同高度处的旋臂图样,这些图样的叠加宽度与观测结果是相符合的。

基本方程的建立

我们首先用三维气体盘(作为一级近似)来模拟星系盘,并设盘以rΩ(r)作较差自转。

对Z支量采用了精确的星系动力学方程,这时有

式中U为引力势,应满足Poisson方程其中星系体密度ρ=ρ(r,θ,Z,t)。

基态时,u=v=w=0,星系盘处于平稳轴对称状态,此时ρ=ρ0(r,Z)。

则由方程(2)、(4)可得

根据巴连拿哥的结果,基态密度随Z的分布为

其中σ0(r)为投影面密度。

由方程(7)可得

式中e=|Z|/Z为符号因子。

由(5)式得基态引力势U0满足的方程

色散方程的导出

假设加在基态上有一小扰动

代入方程(1)、(2)、(3)、(4)和(5),略去二级小量,可得

扰动引力势U1满足Poisson方程

如果扰动量(u、v、w、U1、ρi)取为下列指数形式(|k|r<<1):

要求振幅A(r,Z)同Φ(r,Z)相比是r的缓变函数,即

作此紧卷螺旋的假设后,后者可以忽略。

假定扰动密度和基态密度在Z方向的分布形式一样

其中α为厚度因子。

为保证星系旋臂图样的准稳特性,我们要求

在上述近似假设下,由方程(13)—(16)消去w,求得线性方程组:

由(23)式可求出三维旋涡星系密度波的色散关系

色散方程中各量的选取

我们以银河系为例来进行计算。

对于银河系我们采用史密特模型,根据表中列出的数据可查出在不同距离r=1,2,……20kpc处的κ、Ω及投影面密度σ0(r)的值。

基态引力势:

U0满足方程(10)的解为

由(26)式可得

扰动引力势:

由文献可知扰动引力势同扰动密度的关系为

根据我们的假定,由(21)式有

径向速度弥散度:

文献表1中列出了不同r处的速度弥散度值。

对Z≠0时的速度弥散度值,可由基态方程(6)出发,推出ar随Z的变化关系

可由(26)式求出

图银河系旋臂图样(只画出一条旋臂)

图样速度Ωp的选取由下述条件决定:

在Z=0平面上、在r=10kpc处取k≈1.8kpc-1,其它的量由上述已交待的方法确定。

代入色散关系方程(25),再由(24)定出图样速度Ωp=12.0km/sec·kpc。

结果

我们选取Z=0,

求出了对应的三条曲线,旋臂的内侧为Z=0所对应的曲线,外侧为Z=1/α对应的曲线。

在r=10kpc附近两条曲线相距约900pc如图1。

这即为该处附近旋臂的宽度。

它与观测值是符合得较好的。

但此解仅对应于一个独特的星系模型——Toomre旋转模型“2”。

而(30),(32)式与(39)式起着相互补充的作用。

为了得到更具普遍意义的解,又求出了对应于Toomre模型“N”的旋涡星系基态引力势,但此为一近似解,仅对较薄的星系适用。

总的说来,我们所求得的基态引力势解——(30)和(32)式,在数学上是严格的,因此它基本上适用于整个星系对称面上(星系核心部分除外),对薄的和较厚的星系皆适用。

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