文|章仕仁

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编辑|章仕仁

在追求高精度的现代数控系统中，热误差即热变形误差越来越受到人们的重视，根据研究表明，热变形误差已经是数控机床最主要的误差来源，达到总误差的40%~70%。

由于机床内部热源较多，在传热和散热时彼此又相互影响，再加上其他因素，使得对热误差的建模变得很困难，为了尽量减少这些误差对加工精度的影响，大量的基于误差补偿的方法得到了充分研究和发展。

这些方法的基本假设是：机床误差是由温度分布，位置以及轴运动方向确定的函数。

在获得这些信息后，就可以构建一个温度与其相应的误差的模型，然后通过这个模型误差项可以被预测，进而将其实时补偿到加工过程中，从而提高工件加工的精度。

目前，国内外在对热误差进行建模过程中比较常用的建模方法，是利用数据拟合的方法来构建离散温度点和热误差之间的经验关系，其中基于神经网络的建模方法得到了广泛的研究。

这些方法大多对机床的主轴进行了热误差建模，在研究中着重讨论其在机床的直线进给系统滚珠丝杠热误差建模中的应用，根据训练数据集的特征引进了一种数据预处理的方法，最后实验结果表明，神经网络系统在热误差建模精度上将最大误差由10pm 降低到2um。

丝杠热误差分析

滚珠丝杠由螺杆、螺母和滚珠组成，它是工具机和精密机械上最常使用的传动元件，其主要功能是将旋转运动转换成线性运动，或将扭矩转换成轴向反覆作用力，同时兼具高精度、可道性和高效率的特点。

机床直线进给系统中的滚珠丝杠在高速条件下运行时，滚珠丝杠受运行时间和运行速度影响而温度上升，导致滚珠丝杠产生热变形，使得加工精度下降。

除了摩擦热以外，环境温度变化对丝杠的热变形也有一定的影响。

人工神经网络

人工神经网络是一种计算模型，由大量的节点相互连接而构成，更重要的是人工神经网络它能够通过运用已知实验的数据来学习和归纳总结，然后将学习的结果泛化到一般情况。

实际中常用的是三层神经网络，它包含输入层隐藏层和输出层，在输入层各个神经元接收大量非线形输入信息，输入信息在神经元链接中传输、分析、计算，最后形成输出结果，在输出层中输出。

隐藏层是输入层和输出层之间众多神经元和链接组成的各个层面，隐层的神经元数目不定，但数目越多神经网络的非线性越显著，从而使神经网络的强健性更显著，如图1所示为一个典型的三层前馈神经网络。

在图1中，该网络输入层神经元个数为4个，输出层神经元个数为1个，隐藏层的神经元数量为9个。

通过训练样本的校正，对各个层的权重进行校正而建立模型的过程，我们称之为学习过程，具体的学习方法则因网络结构和模型不同而不同，常用的是反向传播算法(BP算法)。

BP算法可以用来训练多层网络，它采用使均方误差最小化的最速下降法，基本的BP算法的一个主要缺陷是训练时间较长，使用基本BP算法解决实际问题不可行。

我们主要采用改进的BP算法——Levenberg-Marquard BP算法(LMBP)来提高算法的性能。

LMBP算法是在最速下降法和高斯牛顿法之间进行平滑调和，当在远离最小值时逐渐切换到高斯牛顿法，所以它既有高斯牛顿法的局部收敛性，又具有最速下降法的全局特性。

由于 LMBP 算法利用了近似的二阶导数信息，因而它比最速下降法快得多，由于 LMBP 算法是采用更加有效的数值计算优化方法来改进基本 BP 算法，从收敛速度和收敛性角度看，它是最速下降法和牛顿方法的折中，从而实现了收敛速度和稳定性的统一。

丝杠热误差建模

在本节中，将通过实现一个实际的神经网络模型，来详细地考察它在对滚珠丝杠热误差建模应用上的具体情况。

在建立 ANN 模型时有几个步骤需要考虑，第一，选择什么样的网络结构，选择三层前向网络结构，典型的如图 1所示的三层前向神经网络结构，输入层和隐层的神经元传输函数为 S型函数输人层传输函数为线性函数。

第二，选择学习方式，我们选择使用有监督的学习方式，即网络训练是基于定数量的训练样本进行的。

第三，选择学习算法，我们选择对基本 BP 算法进行改进的 LMBP 算法，所建神经网络模型的输入为一个四元组(环境温度，滚珠丝母温度，前轴承温度，位置)，输出为丝杠热变形量，即要预测的热误差值。

训练数据集的构成形式为：E其中 E =(TPQ)，T=(T，T，T)表示温度输入量，它们分别是环境温度，滚珠丝母温度和前轴承温度。

P表示某一个位置，Q为对应热变形量，E表示数据集中一个元素，含义是在 T温度条件下位置 P处的热变形量。

事实上，整体数据集可视为一个温度一位置一热变形量的三维矩阵，每一个数据元素都包含温度、位置和相应热变形量。

训练数据的一个重要特征是存在大量的重复性数据，从而不能将它们直接用于模型训练，例如在某一温度条件下，丝杠不同位置处都要检测热变形量，这时温度值存在大量重复，因而这些数据需要经过预处理才能应用于模型的训练。

预处理方案的核心思想是选择不同温度，不同位置的数据构成一次训练的数据子集，然后用这些不同的子集重组成最终的训练数据集。

在实验中，采取了循环取矩阵对角线位置的方法来达到温度不同、位置不同的效果。

在预处理数据过程中为操作的复杂度，将温度数据和位置一热变形量数据分开保存在两个矩阵里，这样可以得到两个二维数据矩阵：位置-热变形量矩阵(P)和温度矩阵(C)，这时问题简化为从 P 矩阵中选择有限个不同行不同列的数据元素，简单有效的方案是沿着对角线的方向取不同的元素，并将之与温度矩阵 C中的元素拼凑成一个训练数据子集。

循环从位置一热变形量矩阵取对角线元素可以保证充分使用原始数据，数据预处理流程图如下图 2 示。

该数据预处理方法具有简单灵活的特点，它很容易通过编程进行实现，而且可以避免在三维空间中进行复杂的选取操作。

经过预处理后的训练数据由不同的温度条件和不同的位置及其对应的实际热变形量组成，从而可以使模型进行了充分的学习，从而可以增强模型泛化的能力。

本实验以VMCO850B 三轴立式加工中心的Y轴直线进给系统的热变形误差为研究对象，Y轴进给系统：Y轴最大行程为380mm，在机床冷态下定位误差+1um，使用 TSic306 数字式温度传感器，测量范围-50C至+80C，测量精度0.3C，分辨率0.1℃，使用ML10 激光干涉仪检测Y轴定位误差。

实验环境如下图 3 所示。

实验流程

实验主要分为两个阶段，第一阶段是数据预处理和神经网络的模型训练，第二阶段是模型泛化，即利用训练好的模型来预测特定加工条件下的热误差，通过与实际测量的误差对比来检验模型的精度。

实验流程如下图4 所示。

在建模实验过程中，隐层节点数的选择是一个很复杂的问题，隐层节点数过少，容错性差，识别未经学习的样本能力低，相反，如果过多则会增加网络的训练时间，同时还可能样本中非规律性的内容存储进去，从而降低了泛化能力。

下面为一个确定隐层节点数的经验公式：l=/n+m +a

其中，l为隐层节点数，m 为输入节点数，n 为输出节点数，a为1~10之间的调节常数，在实验中为了简化该问题，先根据经验公式假设隐层节点数为5，然后根据训练结果的均方误差不断调整参数a，最终确定隐层节点数为9可以达到预期的期望，即使得均方误差最小。

数据检测系统将采集所有用于模型训练的数据，主要包括：D温度采集，为了获得滚珠丝杠平均温度，分别在丝杠发热最大的前轴承和滚珠丝母处各安装一个温度传感器，如下图 5 所示，另外安装一个检测环境温度的变化，@热变形量检测，利用ML10激光干涉仪检测Y轴丝杠在不同温升时、不同位置处的热变形。

通过对采集的数据进行初步统计，环境温度数值变化范围是 6.9 ~9.5，滚珠丝母温度数值变化范围是 3.8~11.8，前轴承温度数值变化范围是 6.220，最大热变形量的变化范围0~-73um(负号表示负半轴方向)，可以看出环境温度变化比较小，而前轴承温度变化最大。

模型训练及其结果

在对训练数据进行预处理后，使用 LMBP算法对神经网络模型进行训练，一般情况下对模型的训练需要经过多次的训练才能达到理想的效果，这主要取决于模型参数的初始化情况。

图6所示为在温度(7.8，9.5，19.6)条件下的训练结果，其中温度值分别为环境温度、滚珠丝母温度和前轴承温度，从图中可以看出，训练后的模型的输出值能很好逼近测量的真实值。

通过对建立的神经网络进行训练，最终成功地实现了对数控机床直线进给系统的热误差进行预测。

图7显示了在实际采集的温度(7.8，9.15，19.1)条件下，神经网络模型和最小二乘法拟合法对 Y轴的热误差的预测值和实际误差值，其中温度值分别为环境温度、滚珠丝母温度和前轴承温度。

另外，最小二乘法模型为本课题的现有成果，图8 显示了在Y轴190mm处两种模型输出的结果对比效果，为了作图方便横坐标只选择前轴承处温度值代表相应的温度环境，图7给出了位置-热变形量的二维结果图，图8给出了温度-热变形量的二维结果图，通过对比两个图中的结果可以看出，神经网络模型更好地实现了对丝杠热误差的预测，将最大预测误差从10um降低到2um。

结语

我们主要阐述了将神经网络用于滚珠丝杠热误差建模的过程，并根据原始数据的特点对其进行了数据重组式的预处理操作，然后使用预处理的数据进行了模型训练。

实验结果表明，神经网络系统能够很好的满足预测精度要求，将最大预测误差降低到2um。

以上两个计算示例中，所给出的变密度法的优化结果均为去网格化以后的拓扑优化结果，从以上可以看出，若我们所采用的 KNN 方法得到的优化结果去网格化以后，与变密度法得到的优化结果很相似。

这说明我们采用的KNN方法是可行的，从单元保留或删除的角度来考虑，可以将结构的拓扑优化设计归结为一种结构单元的模式识别方式。

KNN算法广泛地应用于各种模式识别中，我们是在建立了连续体结构数学模型的基础上，将 KNN算法引入到结构拓扑优化设计领域中，给出了单元识别的欧氏距离判据公式以及识别标准，并对几个经典的算例进行了计算，所得优化计算结果与其他连续体拓扑优化设计方法得到的结果很相似。

这表明优化结果是正确的，同时也说明 KNN方法在结构拓扑优化设计领域的应用是可行的，这为连续体的结构拓扑优化设计提供了一种新方法，并拓展了KNN算法的应用领域。

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