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文|题少年

编辑|题少年

(资料图片)

前言

章动式双圆弧锥齿轮是一种将双圆弧锥齿轮应用在章动传动上的新型齿轮，它同时具备双圆弧齿廓高承载、易润滑的特性以及章动传动结构紧凑和大传动比的优点，在精密减速器领域拥有广阔的应用前景。

内啮合锥齿轮是章动齿轮传动机构的关键部件，其齿轮副的传动性能主要由锥齿轮的齿廓形状决定。

相较于传统的渐开线齿廓，双圆弧齿廓采用两对凸、凹齿面相啮合的传动方案，极大提高了齿面的接触强度，因此受到了国内外学者的广泛关注。

齿面数学模型的建立

本文拟在通用齿面数学模型的基础上，开展内啮合双圆弧螺旋锥齿轮章动传动齿面接触分析（TCA），研究其在无安装误差下的接触轨迹。

章动式双圆弧螺旋锥齿轮主要建模思想为：根据共轭齿廓互为包络线的原理，可以由一个假想的冕齿轮得到内、外锥齿轮齿面，可将标准双圆弧齿形沿实际齿向线扫掠，生成冕齿轮的基本齿廓曲面。

GB/T12759-1991标准规定的基本齿形，标准双圆弧齿形，如图1所示。

图1

标准双圆弧齿形分别由凸圆弧、过渡圆弧、凹圆弧和齿根圆弧组成，为明晰各段圆弧的位置关系，如图1所示。

在该直角坐标系中，Xk轴位于齿厚的对称线上，Yk轴位于齿形的节线上，则第j(1~8)段圆弧上任意点n的坐标在坐标系kS中可表示为：

通过选用对数螺旋线作为冕齿轮的公称齿向线，可保证线上各点的螺旋角β不变，在此基础上，为使齿廓符合等强度原则，需调整公称齿向线，以获得实际齿向线。

齿向线调整示意图如图2所示。

图2

图2中，L1为公称齿向线，可用极坐标方程

来描述l2和3l3分别为调整后的左、右实际齿向线。

齿向线在冕齿轮节锥面坐标系sc(ocxcyczc)中可表示为：

将双圆弧齿形分别沿左、右实际齿向线扫掠，即可得到冕齿轮在坐标系sc中的齿面方程：

式中：cMk为坐标系kS到坐标系cS的变换矩阵，通过建立内锥齿轮、外锥齿轮和冕齿轮的啮合坐标系，利用空间啮合原理对冕齿轮齿面方程进行坐标变换，推导出内、外锥齿轮的曲面族参数方程：

式(4)中的曲面族方程rpi由齿向线参数θi、齿形参数αijn和冕齿轮啮合转角参数ϕc共同确定。

根据齿轮啮合原理，内、外锥齿轮的齿面参数方程还需满足如下啮合方程：

整理式(5)后，可得到参数

的表达式。

至此，内、外锥齿轮齿面方程经过简化，由双参数θi和αijn统一表示如下：

章动式双圆弧螺旋锥齿轮TCA

螺旋锥齿轮齿面属于点接触共轭曲面，在无载或轻载情况下，相互啮合的齿面间理论上只形成一个瞬时接触点。

随着传动的进行，各瞬时接触点的轨迹构成一条接触迹线，双圆弧齿廓同一轮齿侧面在啮合过程中会出现双点接触，因此，存在上、下两条接触迹线。

章动齿轮传动本质上是一种锥齿轮少齿差行星传动，常见的单级锥齿轮章动传动往往由固定的内锥齿轮和同时作自转与摆动运动的外锥齿轮组成。

因此，在进行TCA前，笔者需根据相对运动原理将周转轮系转化为定轴轮系，此时可认为内、外锥齿轮只绕自身轴线转动。

根据这一原理，内、外锥齿轮章动传动啮合坐标系如图3所示。

图3

在不考虑装配误差的情况下，分别引入内、外锥齿轮的固定坐标系st(otxtytzt)和sg(ogxgygzg)，用以描述两者的相对运动关系，其中，旋转坐标系S2和S1仍固连在对应齿轮上，各坐标原点与节锥顶点重合。

啮合过程中，外锥齿轮从起始位置Sg绕Z1轴旋转φ1角度到达S1，内锥齿轮从起始位置St绕Z2轴旋转φ2角度到达S2。

假设tS为全局固定坐标系，则此时内、外锥齿轮齿面接触点的径矢和单位法矢在st坐标系中表示如下：

啮合过程中的齿轮副要想连续相切接触，必须满足一个条件，即在某一固定坐标系下，两齿面瞬时公共接触点处的位置径矢rt和单位法矢nt相等，即：

在理论上，所有接触点中存在一个计算初始点，使得齿轮副在该点处满足瞬时传动比等于理论传动比，通常该点位于啮合齿面的中点附近。

因此，首先要根据齿面旋转投影关系构造非线性方程组，求解得到外锥齿轮初始点的齿面参数θ1和α1jn，进而利用传动比关系以及式(12)，确定剩余的4个参数。

以其中的内锥齿面参数φ2作为已知输入量，方程组在每次迭代前，需要通过给定步长Δφ2对φ2值进行改变，将新的φ2代入式(12)，去计算其余5个参数的一系列解，直到接触点超出齿面边界时，迭代停止。

齿面接触点曲率及运动参数计算

啮合齿轮副共轭齿面之间的曲率和相对运动直接影响着齿面的接触区尺寸、摩擦学性能和接触强度，因此，根据已推导的齿面方程和求解得到的接触点参数，采用微分几何，详细推导接触点处各类曲率参数和运动参数表达式。

由梅尼埃定理可知，齿面上一点沿任意方向的法曲率可表示为：

式中：E、F、G为曲面第一基本齐式系数，L、M、N为曲面第二基本齐式系数。

第二基本齐式系数可表示为：

法曲率反映了曲面定点在不同方向上的弯曲程度，当定点参数确定时，法曲率只与选择的切线方向有关，所有切线方向中存在一对互相垂直的主方向，使得对应主曲率为法曲率中的最大值和最小值。

需要说明的是，计算得到的主方向1和主方向2实际上与齿廓方向和齿线方向区别不大，实际啮合接触的齿轮副表面由于受到工作载荷影响会产生弹性变形。

形成以接触点为中心的接触椭圆，其长轴方向为诱导法曲率绝对值最小的方向，短轴方向为诱导法曲率绝对值最大的方向。

接触椭圆和主方向的位置关系如图4所示。

图4

图4中，齿轮副在接触点M处具有共同的法矢n和切平面∑，主方向和椭圆长短轴方向的位置关系由夹角σ和γ确定。

根据欧拉公式，短轴η方向的内、外锥齿轮的法曲率分别为：

而短轴η方向的诱导法曲率为该方向的法曲率之差，可表示为：

经过计算，σ值为：

同理，可得长轴ζ方向的诱导法曲率Δkζ。

根据Hertz弹性接触理论，采用下式计算瞬时接触椭圆的长短半轴a和b，即：

其中A的表达式为：

上述所求的长短半轴a和b都是在公共切平面内的，还需将其投影到齿轮的轴截面，以便在齿面坐标系中进行表示。

齿轮副运动参数计算内、外锥齿轮接触点处的绝对速度矢量itv在固定坐标系tS中可表示为：

沿接触椭圆长、短半轴方向的速度分量iittvvζ、η如下：

其中，长、短半轴方向的单位矢量ζ、η可根据图4得到，即：

各运动速度关系如图5所示。

图5

可得到接触点处卷吸速度eU和相对滑动速度sU的矢量表达式：

速度矢量与椭圆长轴之间的夹角θe和θs为：

进而得到滑滚比S的计算公式为：

算例与分析

齿轮副的基本设计参数如表1所示。

表一

其设计参考值满足输出扭矩M=100N·m，输入转速为1000r/min~1500r/min。

章动式双圆弧螺旋锥齿轮的实体样机如图6所示。

图6

左、右实际齿向线并不相同，因此轮齿左、右侧齿面的空间曲面结构存在一定差异，利用MATLAB软件对上述理论计算进行编程求解。

外锥轮齿右侧齿面瞬时接触点的分布情况如图7所示。

图7

在齿轮传动中，由于凸、凹齿面先后参与啮合接触，均匀选取各自齿面上的17个接触点。

即构成图7上、下两条接触迹线，同齿面的接触点都是沿着齿宽方向由一端向另一端移动，且啮入点与啮出点在齿高方向的偏移量较小，基本处在计算初始点所确定的齿宽线上。

此外，凸、凹齿面接触点对应的压力角分别为23.00.02°±°和24.90.05°±°，同理论压力角24.0°接近，表明齿轮副在传动过程中具有良好的接触状态。

当模数一定时，齿形的其他参数也被确定下来，而不同的模数下齿形尺寸的差别较大，无法放在统一的尺度下进行比较。

不同螺旋角对接触迹线的影响如图8所示。

图8

由图8可以看到：当螺旋角低于设计值25.0°时，接触迹线两端的齿高偏移量明显增大。

即接触迹线出现不同程度的倾斜，使得接触区呈现一定的对角接触，影响了齿轮的啮合性能，且凸齿面接触迹线受螺旋角变化的影响更大，因此，在设计时应尽量避免该情况的发生。

外凸内凹啮合齿面接触点主曲率如图9所示。

图9

外凹内凸啮合齿面接触点主曲率图 10 所示。

图10

齿线方向主曲率的绝对值均随着接触点从小端移动到大端而逐渐减小，这与对数螺旋线本身的曲率特性是一致的。

齿廓方向的主曲率变化幅度非常小，这是因为凸、凹齿面的端面齿廓线是曲率半径恒定的圆弧曲线。

在数值上，齿线方向对应的主曲率是所有法曲率中的极小值，齿廓方向主曲率为极大值，图9中，由于极小值的主曲率为正值，则接触点各方向上的法曲率都为正值，这里的正、负不反映大小。

而表示该方向齿面的弯曲朝向与公法矢量n指向相同或相反，这意味着接触点附近齿面的弯曲方向与公法矢量n方向一致，表明此处的啮合齿面类型为椭圆抛物面。

椭圆抛物面如图11所示：

图11

图10中，齿线方向主曲率计算值为负值，齿廓方向主曲率为正值，而此处的啮合齿面类型为图11所示的双曲抛物面。

在上述接触情形下，椭圆长、短轴方向诱导法曲率如图12所示。

图12

从图12可知：整个啮合过程中，长、短轴诱导法曲率皆为负值，即在啮合点的任意方向上，都存在对应的内锥凹面法曲率小于外锥凸面法曲率，根据所述的检验方法，不难判断出啮合齿面在所有接触点处都不会出现曲率干涉现象。

此时齿面不发生曲率干涉的条件为任意方向的诱导法曲率都是正值，即它的两个最值也是正值，与计算结果相符，说明外凹内凸齿面啮合亦不出现曲率干涉现象。

另一方面，诱导法曲率常被用来表征齿面的接触强度，其绝对值越小，说明齿轮传动副的抗弯曲能力越强、抗点蚀强度越高。

图12中，长轴方向诱导法曲率基本接近于0，短轴方向诱导法曲率也处于较低水平，且整体变化连续、平缓，证明章动式双圆弧螺旋锥齿轮具有高承载和传动平稳的优点。

在不失一般性的前提下，为了研究啮合齿面间卷吸速度和相对滑动速度的变化规律，笔者给定外锥齿轮输入转速为1024r/min，得到外凸内凹啮合齿面运动状态，如图13所示。

图13

从齿轮小端到齿轮大端，啮合点的卷吸速度值较大而相对滑动速度值很小，两者的变化幅度不明显，这有利于形成流体动压润滑，并减小磨损。

另外，卷吸速度矢量与椭圆长轴正向之间存在一定的夹角，相对滑动速度矢量则与椭圆短轴方向接近。

这表明，随着卷吸速度与椭圆长轴夹角的增大，中心油膜厚度和最小油膜厚度都将增大，因此，外凸内凹啮合齿面的润滑性能要优于外凹内凸啮合齿面。

齿轮副在接触点处的运动特性如图14所示。

图14

无论是外凸内凹啮合还是外凹内凸啮合，整个传动过程中，齿面滑滚比的值趋于0，且变化缓慢，这表明章动式双圆弧螺旋锥齿轮在工作时接近于纯滚动运动，即由相对滑动引起的齿面磨损很小，且相对均匀。

总结

总结来说，当诱导法曲率在椭圆长轴方向接近于0，在椭圆短轴方向较小，表明齿轮副具有较高的承载能力和接触强度，两啮合区域皆不产生曲率干涉现象。

各接触位置的卷吸速度远大于相对滑动速度，有利于形成油膜，两啮合区域的滑滚比趋近 0，表明齿轮的传动过程近似为纯滚动状态，磨损较小，外凸内凹啮合的润滑性能和总体传动质量要优于外凹内凸啮合。

齿面接触点分布在凸、凹齿面中部，并沿齿宽方向移动，接触椭圆始终近似平行于齿宽，有限元结果与理论计算一致。

螺旋角对齿面接触点的分布以及齿面滑滚比存在一定的影响，故在选取螺旋角时，其值应不

低于25.0°

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