天天最新：k-means算法 - 数据挖掘方法

k-means算法，也被称为k-平均或k-均值，是数据挖掘技术中一种广泛使用的聚类算法。 它是将各个聚类子集内的所有数据样本的均值作为该聚类的代表点，算法的主要思想是通过迭代过程把数据集划分为不同的类别，使得评价聚类性能的准则函数达到最优，从而使生成的每个聚类内紧凑，类间独立。

一、计算步骤

设有n个m维向量(Xk1,Xk2,…,Xkm),k=1,2,…,n，

(资料图片)

在n个样本中随机选k个样本为簇心或类；选定某种距离（如欧氏距离）作为样本间的相似性度量，计算各样本和k个簇心之间的距离，将和簇心距离最小的样本和对应簇心归为一类；根据误差准则，计算类（组内）方差（各簇中心点到其它聚类点的方差）和总方差；计算k个类中样本重心，从而生成新的簇心或类。

重复上面的过程，直至簇心不变。

二、算法举例

简单样本数据如下表：

S	X	Y
1	0	2
2	0	0
3	1.5	0
4	5	0
5	5	2

运用k-means算法进行聚类分析（k=2）。

I，选择S1(0,2)、S2(0,0)为初始的簇心M1=S1(0,2)和M2=S2(0,0)。这里可以随机选2个样本为初始簇心M1和M2；

II，计算各样本和2个初始簇心之间的欧氏距离；

S3- M1和M2

D(S3,M2)<D(S3,M1)，故将S3分配给第2个簇心C2；

S4- M1和M2

D(S4,M2)<D(S4,M1)，故将S4分配给第2个簇心C2；

S5- M1和M2

D(S5,M2)>D(S5,M1)，故将S5分配给第1个簇心C1；

得到新簇C1[S1,S5]、C2[S2,S3,S4]。即，经过第一轮计算，根据初始簇心M1和M2将样本聚类为两组。

III、计算类组内方差和总方差

第一组（C1[S1,S5]）组内方差（簇心M1）：

第二组（C2[S2,S3,S4]）组内方差（簇心M2）：

组内方差为各簇中心点到其它聚类点间的方差。

总体平均方差：E = E1+E2= 25+27.25 = 52.25

IV、计算2个类中样本重心，从而生成新的簇心

以M1=(2.5,2)、M2=(2.17,0)为新的簇心，重复II、III计算步骤，得到新簇C1[S1,S5]、C2[S2,S3,S4]。

2个类中样本重心变为，M1=(2.5,2)、M2=(2.17,0)，类（组内）方差为，

第一组（C1[S1,S5]）组内方差（簇心M1）：

第二组（C2[S2,S3,S4]）组内方差（簇心M2）：

总体平均误差是：E = E1+E2 = 12.5+13.17 = 25.67

经过迭代后，总体平均误差值由52.25降到25.67，显著减小。由于在两次迭代中，簇中心不变，所以停止迭代过程，算法停止。即，最终结果为样本聚类为2组，C1[S1,S5]和C2[S2,S3,S4]。

三、算法要点

1、距离或相似性度量公式问题

距离或相似性公式对K-Means算法的影响主要体现在距离计算和簇心选择的过程中。K-Means算法通常使用欧氏距离作为相似性度量，但也可以使用其他距离度量方法，如曼哈顿距离、余弦相似度等。不同的相似性公式会对聚类结果产生影响，主要体现在以下两个方面：

距离计算：不同的相似性公式会导致不同的距离计算结果。例如，欧氏距离考虑了各个维度之间的差异，曼哈顿距离则只考虑了各个维度的差值之和。不同的距离计算方法会对聚类结果产生不同的影响，可能导致簇心的选择和样本点的分配发生变化。聚类效果：不同的相似性公式会对聚类结果产生影响，可能导致不同的簇划分和聚类效果。某些相似性公式可能更适合特定类型的数据，能够更好地捕捉数据的相似性结构。因此，选择合适的相似性公式对于获得良好的聚类结果非常重要。

不同的距离或相似性公式会导致不同的聚类结果。选择合适的公式是根据具体问题和数据特点来决定的，需要根据实际情况进行选择和调整。

2、簇心与收敛问题

K-Means算法的簇心选择与收敛性密切相关。以下是它们之间的关系：

初始簇心选择：K-Means算法需要事先确定簇的数量K，并选择初始的簇心位置。簇心的选择对算法的收敛性和结果影响很大。不同的初始选择可能导致不同的结果，因此选择一个合适的初始簇心是很重要的。收敛条件：K-Means算法的收敛是指当簇心不再发生变化时，算法停止迭代。簇心更新过程：K-Means算法的迭代过程中，会根据样本点的距离重新计算簇心的位置。通常使用欧氏距离或其他距离度量方法来计算样本点与簇心之间的距离。在每一次迭代中，簇心都会根据样本点的聚类结果进行更新。

簇心的选择和收敛性是相互影响的。如果选择的初始簇心位置合理，并且样本点能够正确聚类，那么算法很可能会在有限的迭代次数内收敛。相反，如果初始簇心选择不好或样本点分布复杂，可能导致算法无法收敛或收敛到局部最优解。

为了提高K-Means算法的性能，可以尝试多次运行算法，每次使用不同的初始簇心，并选择最优的结果。另外，还可以使用其他的聚类算法或改进的K-Means变体来解决簇心选择和收敛性方面的问题。

3、样本标准化

样本标准化对K-Means算法有以下几个影响：

数据尺度统一：K-Means算法基于欧氏距离进行聚类，而欧氏距离受到数据尺度的影响。如果数据的尺度差异较大，即各个特征的取值范围差异较大，那么在计算欧氏距离时，尺度较大的特征会对距离的计算产生更大的影响。通过样本标准化，将每个特征的取值范围缩放到相似的尺度，可以避免尺度对聚类结果的影响。特征权重平衡：在K-Means算法中，各个特征对簇心的选择和聚类结果的贡献程度是相等的。但是，如果某个特征的取值范围较大，那么它在计算距离时会对结果产生较大的影响，可能使得其他特征的影响相对较小。通过样本标准化，可以将每个特征的均值调整为0，方差调整为1，实现特征权重的平衡，使得每个特征对聚类结果的影响程度相似。收敛速度提升：样本标准化可以使得数据在特征空间中更接近单位超球面，这有助于提高K-Means算法的收敛速度。通过样本标准化，数据的分布更加均匀，避免了特征空间中的数据偏斜，使得算法能够更快地收敛到最优解。

样本标准化对K-Means算法的影响主要是消除特征尺度的影响、平衡特征权重和提高收敛速度。样本标准化可以改善K-Means算法的聚类效果，提高聚类的准确性和稳定性。

4、聚类结果评价问题

K-Means算法是一种常用的聚类算法，通过将样本点分为不同的簇，实现对数据的聚类分析。对于K-Means算法的聚类结果进行分析可以帮助我们了解数据的特点和结构，以及对聚类结果进行评估和解释。以下是一些常见的K-Means算法聚类结果分析的方法：

簇的数量选择：K-Means算法需要指定簇的数量K，选择合适的簇的数量对于聚类结果的解释和理解至关重要。可以使用一些评估指标如轮廓系数、间隔统计量等来评估不同簇数量下的聚类效果，选择使得评估指标最优的簇数量。簇的特征分析：对于每个簇，可以分析其内部样本的特征和属性，了解该簇的特点和含义。可以计算每个簇的均值、方差等统计量，观察簇内样本的分布情况。此外，还可以通过可视化的方式展示每个簇的样本点在特征空间中的分布情况。簇间距离分析：可以计算不同簇之间的距离或相似度，以衡量不同簇之间的区别和相似程度。常用的方法包括计算簇中心之间的距离、计算样本点之间的距离等。较大的簇间距离表示不同簇之间的差异较大，较小的簇间距离表示不同簇之间的相似性较高。聚类效果评估：可以使用一些聚类效果评估指标来评估K-Means算法的聚类结果，如轮廓系数、Davies-Bouldin指数、Calinski-Harabasz指数等。这些指标可以帮助我们评估聚类的紧密度、分离度和聚类质量，进一步验证聚类结果的有效性。可视化展示：通过可视化的方式展示聚类结果，可以更直观地理解和解释聚类效果。可以使用散点图、簇中心的可视化表示等方式来展示聚类结果，并根据样本的属性进行着色或标记，以便观察不同簇之间的分布情况。

K-Means算法的聚类结果分析可以通过簇的数量选择、簇的特征分析、簇间距离分析、聚类效果评估和可视化展示等方法来进行。这些分析方法可以帮助我们深入了解数据的聚类结构，解释聚类结果的含义，并评估聚类的效果和质量。通过对聚类结果的分析，我们可以获得对数据集的洞察和理解，进而为后续的决策和应用提供有价值的信息。

K-Means算法聚类结果的分析是一个迭代的过程，需要不断地观察和探索聚类结果，并根据需要进行调整和优化。同时，还应结合领域知识和实际应用需求，对聚类结果进行解释和解读，确保聚类结果具有实际意义和可解释性。

总而言之，K-Means算法的聚类结果分析是对聚类过程和聚类结果的深入研究和理解，通过不同的分析方法和工具，可以揭示数据的内在结构和特征，为后续的数据挖掘和应用提供有价值的支持和指导。

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