19岁创立变分法直接晋升教授，这位意大利青年做到了 世界观速讯

20世纪以前，但凡你在数学上有突出才能的人在别的自然科学领域也会有不错的成就。比如，你数学很好，可能你是一个很优秀的天文学家，高斯就是通过数学计算出了谷神星的轨道，并预测了许多重要的天文现象。牛顿，那就更不用说了，不但在数学上有着巅峰造极的技艺，物理学上更是开天辟地的存在，光学，天文学，甚至在经济学都有着很高的成就。欧拉，还用说？欧拉拿过很多次建筑学大奖，还玩过音乐理论。

高斯大神

(相关资料图)

那个时代的数学相对于古代已经有了突飞猛进的发展，正是由于蓬勃发展，许多未知的领域等待发现，所以研究层次上还并没有进行到很深的地步。因此，那些天赋高的人稍一努力，可能就会在数学以外的领域取得重要成果。今天再来介绍一个类似的人物，他的数学如此厉害，以至于开拓了好几个崭新的研究领域！他就是拉格朗日。

牛顿大神

拉格朗日这个名字对于学过高数的同学们来说，记忆实在太过深刻。你打开高数课本的第一章，没翻几页就会看到一个以他名字命名的定理，拉格朗日中值定理。这是从初等数学迈向高等数学的一个里程碑式的定理，希望大家永远都不要忘记它。

拉格朗日中值定理

1736年，拉格朗日出生在意大利都灵，这是一个人杰地灵的好地方，艺术的天堂。小拉格朗日可是这个家族不可多得的奇迹，为啥这样说呢？他是家里的第11个孩子，前面的10个哥哥姐姐都夭折了，所以到了他这里，他仍然是家中长子。小拉同学的爹是一位军官，退役后开始经商，好在经商是一把能手，等到小拉同学出生的时候，家里的经济条件那是相当不错。这一点比一些出生卑微的同行们要幸运的多，老拉希望小拉学法律，以后做个律师。

意大利都灵

好像不管在哪个年代，教师和律师的职业地位都特别高。可是小拉同学对法律毫无兴趣，他喜欢拉丁语写的诗歌，而且也精通希腊语，精通这两门语言，这让他在阅读古代希腊先贤们们的著作时如鱼得水。家里的书房里也放满了亚里士多德，阿基米德，毕达哥拉斯的哲学著作，此时的小拉同学对于数学类的知识也仅停留在喜欢消化的地步，跟那些诗歌历史书籍没有区别，直到他无意看到了那本引领他走上数学道路的小书。

任何时代 律师都是高级职位

17岁时，小拉同学翻到了这本《微积分简介——微积分方法和它对于希腊几何方法的优越性》，作者是哈雷，也就是发现哈雷彗星的那位天文学家。其实哈雷并不算一个优秀的数学家，只不过他可以很好地利用数学工具来帮助自己的研究。这本小小的科普书，算是彻底让拉格朗日决心把全部精力都放在数学研究上了。

艾德蒙 哈雷

等到拉格朗日18岁时，已经很具备一个青年数学家的素养了。他用意大利语写了自己职业生涯第一篇论文，用二项式定理来处理两函数乘积的微商，后来他又改用拉丁语写了一遍，并把论文寄给了当时如日中天的欧拉，欧拉看到后非常欣赏这位少年的杰作，但是他也告诉了这位少年，同样的工作其实在半个世纪以前的莱布尼茨就已经做过了。看到自己苦心孤诣的成果早已被别人发表过了，一般人肯定会垂头丧气，然而，拉格朗日一点都不觉得沮丧。拉格朗日对整个数学界呐喊，这只是我的开始而已。这个时候的他开始把数学分析作为自己的研究领域，并很快就取得了举世瞩目的成就。

莱布尼茨大神

1755年，19岁，拉格朗日因为研究等周问题，扬名世界，成为了欧洲最一流的数学家。什么是等周问题呢？这是一个很古老的问题，

就是用一个定长的绳子，去围成一个封闭图形，怎样才能使这个图形面积最大？

等周问题是困扰数学界2000多年的悬案

这个问题大约有2000多年的历史，问题的答案好像也显而易见，我们直觉里认为这个封闭图形应该就是圆吧。没错，答案的确是圆，但是怎么证明呢？这也成为了两千年来数学界几乎约定俗成，但是始终说不清具体原因的一个悬案。

转眼到了18世纪，数学界仿佛终于有了能力从根本上解决这个问题了。先前是欧拉这位大神做了开拓性的工作。欧拉因为要重新研究最速降问题，发明了一套研究函数曲线极值的方法，我们现在叫做泛函分析。欧拉苦思了十年，也的确给出了利用几何和分析相结合的方法，但是那一套方法却是极度复杂，不具备更加实际的操作可能。

拉格朗日闪亮登场

很显然，这项工作还需要有人更加精细的打磨才能成为被大众接受的数学知识。拉格朗日接过了这个任务，他发明了一套很有效的算法来求解函数曲线极值问题。

先来温习一下这样问题，如何求某个函数在特定区间内的极值呢？

比如：

我们在高中学过基本的代数法，用到的思路其实很好理解，先求出这个f(x)的导数的零点，然而来代入进行计算比较得出极大极小值。因为如果f(x)导数在某个点处取得零点，那么就意味着原函数图像在这个点处的斜率为零，如果这个函数是一个连续光滑曲线，那么在这个点的左边要不就是全部比它小，要么就是全部比它大，反正总会有一个极值在这里出现。于是，我们来演示一下求解过程：

一元函数求极值方法

这里是确定了函数解析式，然而对函数可能取到的值来进行筛选，找出那个满足我们要求的极值。我们现在把这个问题拔高，假如我们列出了一系列函数的方程，给出限定条件，还能找出满足要求的那个函数方程吗？比如那个最速降问题，从起点到终点之间，你可以连接出无数条曲线，但是就只有那么一条的下降速度是最快的，怎么找出来呢？

这个就相当于是在找出一堆函数的极值了。难就难在，如何把一堆函数也当成定义域，在所有可能的曲线里找到一个满足要求的函数曲线。

最速降曲线问题诞生了变分法

回到等周问题上来，我们假设这条曲线经过平面上指定的两个点，实际上这个条件等于是方程的初始条件，具有任意性，对于最后得到的结果没有任何弱化迹象。用这两点之间的线任意围成图形，于是无数个封闭图形都会成为可能，现在我们将跟随者拉格朗日的轨迹来解决这个历史难题。

二元函数极值求解要复杂得多 转自 遇见数学

首先拉格朗日给出了一个求限制条件下的极值方法——拉格朗日乘数法。先看看这么一个利器是怎么诞生的。

前面说到，求只有1个自变量函数的极值，首先在分析定义域之后，就要对函数本身进行求导，那假如函数有2个自变量呢？这个时候，我们仍然需要求导数，也就是偏导数。

于是有，

拉格朗日乘数法由来

这里的1式完全根据一元函数极值的方法类比过来，同样有效，只不过偏导数会有2个。2式可以把限制条件也加进去，因为最后的极值点也会在这个限制曲线上。至于那个3式里等式右边为啥要用-λ，而不用λ，主要是因为下面的步骤。

我们继续。

建立等价关系式

这里的5式，我们就叫拉格朗日乘数法（ Lagrange multiplier）。将3个自变量函数的偏导数放在一起做等式，特别的，我们取的这个比例系数λ叫作拉格朗日乘子，我们下面将这个λ消去，利用上面的5式。于是得到一个更加一般性的公式：

欧拉-拉格朗日方程 （E-L方程）

这个公式，我们现在叫作欧拉-拉格朗日公式（E-L公式），这个公式在变分法领域与F=ma在牛顿力学里的地位相当。

牛顿运动定律

到这里，我们已经积累起了解决等周问题最关键的工具，下面就通过一个小题来考察一下，等周问题的本质原因是什么。

问题：假设某曲线y=y(x,y)经过(0,0),(0,1)两点，试问该曲线与x轴围成的图形面积如何才能最大？

这个小题显然跟等周问题等价。下面来求解：

我们刚好得到一个曲率的表达式

从第9式，我们仔细看发现这里的y刚好表示的是曲率等于1/λ的曲线,我们将y的二阶导数进行一次积分，得到：

最终得到了圆的方程

第 10式表示的是圆心坐标是(c1,c2),半径为λ的圆的方程。我们终于看到了最后的结果，不出所料，这理所应当的就是一个圆啊！

显然拉格朗日的方法更具有一般性，尤其是他创造的乘数法也成为了求解多个限制条件下函数极值的一个重要方法。拉格朗日将这个结果写给了当时的欧拉，欧拉大喜过望，这个年轻人真是了不得，于是他希望拉格朗日能够尽快发表这些成果。

欧拉大神

很快，欧洲的数学界就将这位19岁的年轻人当做第一流的数学家来看待。就在当年，拉格朗日当选为都灵皇家炮兵学院的教授，如果同学们有兴趣的话，可以查一下，当年的欧洲炮兵们都要学习哪些数学课程，就明白这个职位有多厉害了！等周问题让拉格朗日19岁名扬天下，就像年轻的欧拉解决巴塞尔问题一样。可以说，是拉格朗日和欧拉共同成就了变分法。

欧拉与拉格朗日共同开创了变分法的新时代

18岁的拉格朗日好不容易发布了第一个重要的数学成果，却被前辈一眼就看出来这是几十年前的结论。然而他的自信让他根本不把这次失利当做打击，他有能力去创造出比前人更加绚烂的数学成果，果然，仅过一年，他就兑现了自己的诺言。

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